Határfeltételek diszkretizációja

A határfeltételeket diszkrét szintén úgynevezett szellem rácspontok segítségével a legegyszerûbb reprezentálni. A szellem rácspontok a fizikai értelmezési tartományon kívül helyezkednek el, értéküket közvetlenül a határfeltételek és a fizikai cellák határozzák meg, ugyanakkor felhasználjuk õket a határon elhelyezkedõ valódi rácspontok idõbeli léptetésénél. A szellem rácspontok lehetõvé teszik, hogy a fizikai cellákra vonatkozóan ugyanolyan algoritmust használjunk a határ közelében mint bárhol máshol. A szellemcellák számát a módszer által felhasznált rácspontok kiterjedése határozza meg.

Periodikus határfeltételek esetén a 0 illetve

indexekkel jelölt két szellem rácspont értékét a

$\displaystyle \rho_0$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_N$
$\displaystyle \rho_{-1}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_{N-1}$	(49)

Beáramló határfeltételeknél a szellemcellák értékét egyszerûen a fizikai határfeltételek szerint kell rögzíteni. Elvileg csak szuperszonikus beáramlásnál szabad az összes változót rögzíteni, a gyakorlatban azonban gyakran használnak rögzített, úgynevezett Dirichlet, határfeltételeket nem szuperszonikus áramlásra is.

Tökéletes visszaverõdést okozó szilárd fal hatását is könnyen meg lehet valósítani szellem rácspontok segítségével. Ehhez azt a fizikai tényt használjuk fel, hogy két tükör szimmetrikus áramlás összeütközése ugyanazt az eredményt adja, mintha egy rugalmas szilárd falnak ütközne a gáz. Eszerint a tömeg és energia sûrûséget szimmetrikusan, a normális irányú momentum sûrûséget antiszimmetrikusan kell beállítani:

$\displaystyle \rho_0$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_1$
$\displaystyle \rho_{-1}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_2$
$\displaystyle \rho v_0$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\rho v_1$
$\displaystyle \rho v_{-1}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\rho v_2$
$\displaystyle e_0$	$\textstyle =$	$\displaystyle e_1$
$\displaystyle e_{-1}$	$\textstyle =$	$\displaystyle e_2$	(50)

Szuperszonikus kiáramlást leíró határfeltételt a zéró gradiensû Neuman határfeltétellel lehet megadni, ugyanis szuperszonikus áramlás esetén így nincs visszahatás. Szellem rácspontok segítségével ezt nagyon egyszerû megvalósítani:

$\displaystyle \rho_0$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_1$
$\displaystyle \rho_{-1}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_1$	(51)

Visszaverõdés mentes határfeltételt általában a végtelen távoli határok közelítõ leírásaként szoktak alkalmazni. Az elvárás az lenne, hogy a hullámok visszaverõdés nélkül haladjanak át a határon. Ezt lineáris hullámok esetén úgynevezett karakterisztikus határfeltételekkel lehet megvalósítani. A gyakorlatban ez meglehetõsen komplikált, és gyakran a linearitás sem áll fenn. Ezért általában a szuperszonikus kiáramlásnál használt zéró gradiensû határfeltételt szokás alkalmazni, mely viszonylag kis mértékben veri vissza a hullámokat, akár lineárisak, akár nem lineárisak. A visszavert hullámok hatása tovább csökkenthetõ, ha a határt messzire helyezzük a fizikailag érdekes tartománytól. Nem egyenletes rácstávolság alkalmazásával ez megtehetõ anélkül, hogy nagyon sok rácspontot kellene használni.