Mindeddig a meglehetõsen triviális kontinuitási egyenlettel
foglalkoztunk. Térjünk most át az összenyomható ideális gázok
dinamikáját leíró Euler egyenletekre. A kontinuitási
egyenletet a
momentum és az energia sûrûségek megmaradási
egyenletei egészítik ki:
Az Euler egyenletek hiperbolikus, nem lineáris PDE rendszert alkotnak.
Ezek megoldására a konvekciós egyenletnél bevált módszerek
valamennyien alkalmazhatóak. Újdonság azonban, hogy az információ
most már két különbözõ módon is terjedhet: hang illetve entrópia
hullámként. A hanghullám sebességét a konstans sûrûség,
nyomás, és sebesség értékek körül linearizált
egy dimenziós Euler egyenlet rendszerbõl lehet meghatározni.
Az eredmény két hullám megoldás, melyek sebességének abszolútértéke
(36) |
Az entrópiahullám lényegében a konvekciós egyenletben megismert
sûrûséghullámmal egyezik meg. Ha a nyomás és a sebesség konstans,
akkor a sûrûség perturbáció sebességgel terjed. Az
entrópiahullám onnan kapta a nevét, hogy az
Explicit módszerekre és hiperbolikus egyenletekre érvényes a
Courant-Friedrich-Levy (CFL) stabilitási feltétel,
mely azt mondja ki, hogy egy adott rácspontból a fizikai információ
egy idõlépés alatt nem terjedhet távolabbra, mint a diszkrét módszer
által figyelembe vett rácspontok által meghatározott tartomány.
Ezt az általános stabilitási kritériumot a konvekciós egyenletre
és az upwind módszerre vonatkozóan a (12)
egyenletben definiált Courant szám és a
(13) stabilitási kritérium formájában már
levezettük. Az Euler egyenletek esetében a sebességû
hanghullám terjed a leggyorsabban, így a CFL feltétel a
(39) |
Az alábbi feladatban véges amplitúdójú hanghullámok terjedését
fogjuk modellezni. A kezdeti feltétel legyen egy
Ellentétben a konvekciós egyenlettel, itt nem tudjuk az egzakt analitikus megoldást, azonban néhány fizikai megfontolás nagy mértékben megkönnyíti a numerikus eredmények kiértékelését. A nyomás perturbáció két balra és jobbra haladó hanghullámot kelt. Ezek közelítõleg sebességgel fognak terjedni. Mivel a hullámok amplitúdója nem elhanyagolhatóan kicsi, nem lineáris jelenségek fellépésére is számítani kell, azaz a hullám profilja fokozatosan eltorzul. A kezdeti feltétel izotermikus, azonban entrópiája nem konstans, tehát egy entrópia hullámra is számíthatunk, ami miatt helyben fog maradni.