Mint a 8. fejezetben láttuk, a nem lineáris jelenségek hatására a hanghullámok frontja meredekebbé válik. Még érdekesebb - és nehezebben modellezhetõ - jelenség a lökéshullám, mely az Euler egyenletek egy nem folytonos, szakadási felülettel rendelkezõ úgynevezett gyenge megoldása. A lökéshullámok a valóságban persze véges vastagságúak: a gázt alkotó részecskék átlagos szabad úthossza adja meg a vastagságot. Matematikailag ezt a viszkózus tagok bevezetésével lehet modellezni, ami az Euler egyenletektõl a Navier-Stokes egyenletekhez vezet. Gyakran azonban nem vagyunk kíváncsiak a lökéshullámfront szerkezetére, csupán az általa okozott sûrûség-, nyomás- és sebességváltozás érdekel minket. A molekulák szabad úthossza általában sok nagyságrenddel kisebb, mint a problémában szereplõ egyéb távolságok, és így általában jóval kisebb, mint a diszkretizációban használt rácsállandó.
A diszkretizált problémában tehát a lökéshullámot mint szakadási felületet próbáljuk meg leírni, ami az Euler egyenletek nem folytonos gyenge megoldásához konvergál. A gyenge megoldás matematikai definíciója a következõ: a differenciálegyenletet kiintegráljuk egy tetszõleges véges térfogatra, a térfogati integrálokat felületi integrállá alakítjuk át, és a gyenge megoldás ennek az integrálegyenletnek a megoldása a választott térfogattól függetlenül. Ha megnézzük az (1) és (2) egyenleteket, azt látjuk, hogy a fizikai levezetés éppen az ellenkezõ irányban haladt: a (felületi) integrálegyenletet írtuk át parciális differenciál egyenletre. Tehát nemcsak matematikailag szükséges, de fizikailag is természetes hogy a PDE helyett az integrálegyenletet diszkretizáljuk.
Az integrálegyenleteken alapuló diszkretizálást
véges térfogat módszernek nevezzük. Az eddigi
interpretációban a sûrûségnek az koordinátájú
rácspontban felvett értékét jelölte. A véges térfogat módszer
esetében a teret rács cellákra bontjuk, melyek
térfogata , középpontja pedig az pontban helyezkedik el és
(52) |
Eddig szinte minden elméleti megfontolást, így a
konzisztencia vizsgálatot és a megoldás rendjének kiszámítását is
arra a feltevésre alapoztnk, hogy az analitikus megoldás folytonos
és többszörösen differenciálható. A gyenge megoldások esetében
azonban a Taylor sorba fejtés nem mûködik. A Lax-Wendroff tétel
kimondja, hogy a megmaradási tételeket numerikusan is teljesítõ
stabil diszkretizáció egy érvényes gyenge megoldáshoz konvergál
a rács finomításával. Például a tömegmegmaradási tétel
numerikus formában
Egy PDE-nek számos gyenge megoldása létezhet, de ezek közül csak azokat tekintjük fizikai megoldásnak, melyek a valóságos folytonos megoldás határértékének tekinthetõk. Gázdinamika esetében a Navier-Stokes egyenletek folytonos megoldásának a nullához tartó viszkozitással vett határértékeként kapott nem folytonos megoldásokat tekintjük fizikainak. Megmutatható, hogy ezekben a megoldásokban az entrópia idõben növekszik. A numerikus diszkretizációnak tehát nem elég érvényes gyenge megoldást adnia, az is szükséges, hogy a megoldás kielégítse az entrópianövekedés elvét is. Ezt meglehetõsen nehéz bizonyítani, de egyes megoldási módszerekre sikerült megmutatni, hogy eleget tesznek ennek a feltételnek is.
A Lax-Wendroff tétel nem nyilatkozik a konvergencia exponensrõl, de egyszerû megfontolásokkal megsejthetõ az eredmény. Mivel a szakadási felületet mindig véges számú rácspont ábrázolja, ezekben a pontokban a hiba nem csökken a rácstávolság csökkenésével. Konvergenciáról csak abban az értelemben beszélhetünk, hogy ezek a rácspontok a fizikai térben egyre kisebb és kisebb tartományban helyezkednek el, azaz az átlagos hiba nagyjából a rácspontok számával fordított arányban csökken. Más szóval a konvergencia exponens a diszkretizáció folytonos megoldásokra vonatkozó rendjétõl függetlenül legfeljebb 1 lesz.
Az alábbi feladatban a
Az ilyen lépcsõfüggvénnyel leírható kezdeti feltételt Riemann problémának nevezzük. Ez analitikusan általában ugyan nem oldható meg, de a megoldás számos tulajdonságát meg lehet jósolni. A hatalmas nyomáskülönbség hatására mindkét irányban egy-egy lökéshullám indul el sebességgel, ahol a külsõ közeg hangsebessége. A lökéshullámok mögött fellép egy-egy kontakt diszkontinuitás, ami egy nem folytonos entrópiahullám, valamint egy folytonsos tágulási hullám, ami önhasonlóan tágul. A lökéshullámon keresztül ugrást szenved a sûrûség, a sebesség, a nyomás, és még az entrópia is. A kontakt diszkontinuitásnál csak a sûrûség és az entrópia változik, a nyomás és a sebesség állandó. A tágulási hullámban a sebesség, sûrûség és nyomás folytonosan változnak, de az entrópia konstans marad.